2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． （1）叙述无界函数的定义;
（2）证明
为
上的无界函数;
上的无界函数.
使得
（3）举出函数f 的例子, 使f 为闭区间则称函数f 为D 上的无界函数.
（2）对任意正数M , 由于是, 取
无界函数.
（3）设
2． 设
显然,
则
得
并且
【答案】（1）设f 为定义在D 上的函数. 若对于任意正数M , 都存在
故是上的
为上的无界函数
求证: （1）（2）
与
存在;
在（0, 0）点不连续;
; 同样因f （0, y ）=0, 得
.
（3）f （x , y ）在（0, 0）点可微. 【答案】（1）因f （x , 0）=0, 所以（2）容易求出
令y=x,
故
在（0, 0）点不连续. 同理可知
在（0, 0）点不连续. （3）由于’
按微分定义
, 函数在（
0,
0）点可微
, 且导数连续是可微的充分条件, 不是必要条件. 3． 设
【答案】
,
而
4． 在下列积分中引入新变量u , v 后, 试将它化为累次积分:
（1）
（2）（3）
【答案】（1）由
若其中其中
得
, , 若
则
,
若
.
, 求
.
是有界变量, 当
或
时, x
是无穷小量, 所以
可见偏
D 与如图1, 图2.
图1
h
图
2
于是
（2
）由
得
,
（
3）由于是
5． 设周期为
⑴（2
）试问（1）
【答案】
的可积函数
的傅里叶系数a n , b n 与
的傅里叶系数
有什么关系？
与
满足以下关系式:
得
, 于是