2018年延安大学数学与计算机科学学院716数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1．
在[a, b]上有定义且在每一点有极限, 证明:【答案】反证法.
若
依次取
由的选取方法有
这与
在
处存在极限矛盾. 故
在
上有界.
使得
2． 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明:对充分小的h , 存在,
【答案】设f 在不妨设
, 令
, 使得
再令故有从而
令
, 则有
, 且
3． 证明:
【答案】因为
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在
上有界.
使得
在[a, b]上无上界, 则对任意正整数n ,
存在
则得到数列
记
由致密性定理知, 存在收敛子列
内具有二阶导数.
, 则F （x ）与G （x ）在
上满足柯
西中值定理的条件, 故存在
, 则H （x ）在, 其中
上满足拉格朗日中值定理的条件, 于是
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所以
所以
二、解答题
4． 计算
【答案】
令
所以
其中
5． 测得一物体的体积限为
g ,
求由公式【答案】
所以d 的相对误差限为
绝对误差限为
.
6． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小.
【答案】令1.
故
,
. 所以a=1是f （a ）的极小值. 因此a=1时, 它与其倒数之和最小.
, 则
, 由
得
, 舍去－1得a =
其绝对误差限为
又测得重量
, 其绝对误差
算出的比重
d 的相对误差限和绝对误差限.
7． 求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程:
（1）
;
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（2）
【答案】（1）1, 法线方程为
（2）
8． 设
.
, 故切线方程为
, 即
故切线方程为y=1, 法线方程为x=0.
, 即
. 法线斜率为－
（1）求f 的傅里叶级数展开式; （2）讨论f 的傅里叶级数在【答案】（1）由于f 在
上是否收敛于f , 是否一致收敛于f? 上为奇函数, 故
所以f 的傅里叶级数展开式为
（2）因为f 在
上除x=0外都连续, 故当
又当x=0时, 级数收敛于
当
时, 级数收敛于
由此可见, f 的傅里叶级数在由于f 在
上收敛于f.
上一致收敛于f , 这就与f 的不
_上不连续, 由连续性定理, 若级数在
, 且
时, 有
连续性相矛盾, 故f 的傅里叶级数在上不一致收敛于f.
9． 在xy 平面上求一点, 使它到三直线x=0, y=0及的距离平方和最小.
, 它到x=0的距离为【答案】设所求的点为（x , y ）的距离为
它到三直线的距离平方和为
由
得
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, 到y=0的距离为到