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一、证明题

1． 证明:（1）

【答案】（1）当

时,

（2）

. 当

时, 令|

则

可知（2）当

时

于是, 当

故

时

当

时,

而

故由迫敛性知

2． 证明:函数

【答案】下面用归纳法证明当n=1时,

在x=0处n 阶可导且

, 其中, 命题成立. 设

, 其中n 为任意正整数.

为次数不超过3n 的多项式.

, 其中

满足要求, 则

因为故

3． 证明:

的次数不超过3n , 所以

的次数对任意

的次数不超过（3n-1）, 于是

所以

成立. 由于对任意的

（1）若f 为凸函数, 为非负实数, 则为凸函数； 上凸増函数, 则

为I 上凸函数.

和任

（2）若f , g 均为凸函数, 则f+g为凸函数； （3）若f 为区间I 上凸函数, g 为意.

总有

两边同乘非负实数, 得到

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【答案】（1）设f 为定义在区间I 上的凸函数, 由凸函数的定义知,

对任意

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即

故

有

两式相加得到

即

故

f+g为凸函数.

（3）由凸函数的定义知, 对于任意因为g 为

上的增函数, 所以

又因为g

为凸函数, 所以

由这两个式子可得

故

4． 证明:反常积分

【答案】因为

在

上一致收敛. 所以有

又因为

收敛, 根据魏尔斯特拉斯判别法可知, 反常积分

5

． 证明下面的方程在点,

（0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y）并将f （x , y ）在点（0, 0）展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.

【答案】令

则F （x , y , z ）在点（0, 0, 0）的邻域内连续,

在点（0, 0, 0）的邻域内连续, 且

, 于是由隐函数存在定理, 方程F （x , y , z ） =0

在点（0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y ）, 满足f （0, 0） =0.

第 3

页，共

28 页

为凸函数.

和任意

总

（2）设f , g 均为区间I 上的凸函数, 由凸函数的定义知,

对任意

, 有

为I 上的凸函数.

在上一致收敛.

,

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由隐函数求导法则易知

所以

于是

6． 证明:（1）若函数f （X ）, g （x ）连续, 则函数

也连续;

（2）设

令函数f 的值f （x ）等于三值证明:f 在[a, b]上连续; （3）令

f （X ）为实函数.

证明:f （X ）连续的充要条件是【答案】（1）因为

又因为函数f （x ）, g （x ）连续, 所以

.

也连

续.

（2）由题意知,

由（1）的结论得（3）

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,

在[a, b]上连续,

中介于其他二值之间的那个值.

对任意固定的n , 都是X 的连续函数.

也连续,

由连续函数的运算性质知

:连续, 并且已知

在[a, b]上连续, 故由连续函数的运算性质知f （x ）在[a, b]上连续.