2018年南京师范大学教师教育学院869数学学科基础[专业硕士]之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
求矩阵A 的不变因子, 初等因子, 若当标准形, 有理标准形. 【答案】因为
故A
的特征值为
（2重）, 1
的几何重数为
不变因子是
故A
的若当标准形为
由
A 的初等因子是
故A 的有理标准形为
2． 计算行列式
【答案】将第i 列乘以加到第一列，得
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3．
P
a 是一个复数
，是数域，它满足
P 上的一个k 次多项式方程. 则
. 则它是P 上线性空间，且可由
是
满足的P 上多项式方程中次数最低的，则任意
，且
在
中不可约.
是
的一组基，于是
是具有（2）中所说性质的k 次多项式，则
生成此空间.
若满足
（1）令（2）若
，就有（3）是 k 维的
. （4）
是一个数域.
【答案】（1）易知P 上线性空间. 要证它能由
数
使得
现设此中即
（2）设 得
其中
于是与又若是使全为零的数
令
次（k 次）多项式矛盾. 故
的维数
的次数. 或为零或次数
是使可约，则
. 用
即去除
对数的加法及对P 中数的数量乘法是封闭的. 又是非空集合，故它是
生成，只要对任何是
的线性组合，
,
设商式和余式分别是. 把代入上式，则
都有
由则
是零或次
生成.
或者为零或次数
是
是使
的线性组合.
的多项式中次数最低的. 而
使
. 用
去除
.
若
的最低次多项式矛盾. 故
或不可约.
的最低次多项式. 若
，它的次数
线性无关，即它是
9
，
则
，即有
由
.
.
与
线性相关，
则中有不
及复数域中无零因子，必有
的最低次多项式矛盾. 故
是使使
（3）次多项式
. 这与是使的最低
的作为上线性空间的一组基. 于是
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（4）来证明有
，
具有0, 1元素，显然有对数的加法，减法和乘法封闭. 现对在
中有逆.
这只要找到是不可约的，且由于
使
，使，有
. . 于是
，
.
（
2）中已证
将代入上式，
，
故
这就证明了
4． 已知
是一个数域.
3阶矩阵A 与三维列向量X ，使得向量组
；
线性
无关，且满足
（
1）记（2）计算行列式【答案】（1）设
，
求3阶矩阵B
，使.
，则由
得
上式即
因为
结合由式①可得由式②可得由式④可得从而
线性无关.