2018年南京信息工程大学海洋科学学院802高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】其中则PAQ=B
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
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D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
【答案】C 【解析】而
. 则
也不是线性变换，比如给
,
则A 与B （ ）.
使
其中得
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式
因此A 与B 合同. 4． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
5． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
若选故选B.
, ，从而否定C ,
二、分析计算题
6． 直线
有惟一交点的充要条件是什么？试证明之. 【答案】
有惟一解，其中
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则两条直线有惟一交点
秩秩
线性无关，且
7． 设且
可由它们线性表出.
是复数域C 上的本原n 次单位根（即令
而当时），都是正整数，而
任取判断线性方程组有无解，有多少解，写出理由.
【答案】A 是一个矩阵，其前s 列组成的子式
为一范德蒙行列式. 因有
所以
说明对
互不相同，从而
有无穷多解
这样立知
所以对方程组
8． 在复数域内解下列四次方程：
【答案】一般四次方程的通用解法概述如下： 设
（9）
为复数域上四次方程，称关于t 的方程
（10）
为方程（9）的三次预解方程. 设
为其任一根，并令
为满足
（11）
的
与
的平方根. 则方程（9）的四根就是下列两个二次方程的根：
（12）
（13）
这就是说，欲解四次方程（9）, 就要先求三次预解方程（10）的一根；再求满足条件（11）的
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