2018年南开大学陈省身数学研究所845高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.
3． 二次型
A. 正定
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均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
使则（ ）.
由，用右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
时，
是（ ）二次型.
B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B.
4． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
若选故选B.
5． 设
则由基A.
, ，从而否定C ,
是3维向量空间
到基
的一组基,
的过渡矩阵为（ ）.
B.
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C.
D. 【答案】A
二、分析计算题
6． 设V 是n 维欧氏空间, 内积记为
证明:
【答案】证法
1
则
, 且
, 使得
即所以证法2
则
由此可知
是直和. 又结合
是直和知, 又任取
则
. 所以
（因为特别取
有
所以
）故即
-又若
, 则由, 所以
即
故有
综上可知,
从而
7． 设A 为n 阶方阵，m 为自然数。证明：
【答案】对m 用数学归纳法. 当故
时显然. 又因为
即（3）式当
时成立. 再设
于
是再由弗罗贝尼乌斯不等式得
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, 又设T 是V 的一个正交变换, 记
.
, 所以
（E 为恒等变换） 从而
, 有, 知