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一、分析计算题

1． 问是否存在n 阶方阵A , B , 满足性变换注意到若.

2． （1）设

证明:如果其中

（2）设3维线性空间V 的线性变换在一组基项式

由于从而有

这样, 令则有同理可得

此说明所以

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（单位矩阵）? 又是否存在n 维线性空间上的线

，则两边取矩阵的迹，并

在这个基下的矩阵分别为A , B ,

，满足

，得

则相应的有

:恒等变换）? 若是，举出例子；若否，给出证明. 矛盾. 所以不存在方阵A , B , 使

【答案】否, 下面给予证明. 对于任意n 阶方阵A , B , 若对于线性变换A , B , 取线性空间的一个基，

并设

，矛盾. 所以不存在n 维线性空间上的线性变换A , B ,

满足

为n 维线性空间V 的线性变换,

且

与

为的最小多项式. 互素, 则

下的矩阵为求的最小多

并对于的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式.

使

互素, 所以存在多项式

【答案】（1）由题设

有

由此可得又所以

有

即综上可得（2）设由于取由（1）知

可得A 的特征多项式

显有两者互素.

无解, 所以A 的最小多项式

这里又

分别与如下齐次线性方程组

的解空间同构, 且Ⅰ与Ⅱ的一个基础解系分别为

所以有

3． 设

是两个实二次型且B 正定. 证明：

（1）存在满秩线性变换使

其中

的实根.

，使

（2）上述的为

【答案】 （1） B 正定. B合同于E ，从而存在实可逆阵且

是实对称阵，从而存在正交阵

使

其中

且由①，②可得

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为的全部特征值. 令则T 为实可逆阵，

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这时，令

由③，

④两式知

（2）由上面③

，④两式可得

两边取行列式有

由⑥式即证

为

4

． 求

使

【答案】

用辗转相除法进行计算

.

的实根.

以上计算表明

因此

所以

5． 设

与

是数域P 上两个线性无关的n 维向量组，证明：

的维数等于齐次线性方程组

（1）的解空间的维数.

第

4

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