2018年山东大学数学学院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题
：
【答案】（1
）令
则原方程化为方程组
初值条件为
（2）令
则化为方程组
初值条件为
（3）
令
则化为方程组
初值条件为
2． 研究下列方程零解的稳定性：
（1
）
（2
）
（3
）
【答案】（1
）特征方程为
由此得赫尔维茨行列式
根据定理3, 特征方程所有根均有负实部，由教材的定理2知零解是渐近稳定的.
（2
）特征方程为
或
由此得赫尔维茨行列式
所以当时
，由教材的定理3知特征方程所有根均有负实部，再由教材的定理2知零解是渐近稳定的.
当
当时，容易验证3个特征根均有负实部，故是稳定的.
时，有特征根具有正实部，故零解是不稳定的.
（3
）特征方程为
或
由此得赫尔维茨行列式
所以零解是不稳定的.
3． 试确定下列方程组的周期解、极限环，并讨论极限环的稳定性：
（1
）
（2
）
（3
）
【答案】（1
）作变换
原方程组可化为
求解上面方程组，
得到两个特解
故原方程组有一奇点（0, 0）,
一个周期解
的极限环.
（2
）作变换
原方程组可化为容易判断周期解是半稳定
求解上面方程组，
得到特解为
故原方程组有惟一的周期解
（3
）作变换
，容易判断此周期解是稳定的极限环. ，
原方程组可化为
易见原方程组有一奇点（0, 0），
两个周期解
先考虑r=l内部轨线，
由
在r=l外部的轨线，
有
再对r=3内部轨线
，知轨线沿顺时针方向.
又由
因而r=l是稳定极限环. 由
-知轨线沿反时针方向.
又由>
且
易知且
易知同样
同样在r=3的外部轨线，
有
4．
讨论非线性电容的振荡电路系统
（1
）求系统当时的哈密顿函数；因此r=3是不稳定极限环.
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