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一、计算题

1． 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量

：

【答案】（1）特征方程为

即故特征值为对应于特征值

的特征向量

必须满足线性代数方程组

因此，

对于任意常数是对应于的特征向量. 类似地，可以求出对应于

的特征向量为其中是任意常数.

（2

）特征方程为即得特征值为对于特征值的特征向量

必须满足线性方程组

因此，

对于任意常数是对应于

数

（3

）特征方程为即得到特征值为对于特征值

的特征向量. 类似地，可以求出对应于以及对应于的特征向量的特征向量其中是任意常（二重根）的特征向量

必须满足解出征向量为其中可得为任意常数. 同理，可求出对应于的特

也是任意常数.

特征方程为即得到特征值为对于特征值其特征向量

必须满足解出得

为

是任意常数. 对应于‘为任意常数. 同理，可以求出对应于•的特征向量为其中的特征向量

2． 证明：如果已知里卡蒂微分方程的一个特解，则可用初等解法求得它的通解. 并求解下列方程

：

【答案】

已知方程如下

：

而且已知

设

是一个特解. 试证明它是可解的.

则

由于是方程的一个解，

所以

因此

即

或者

这是时的伯努利方程，所以是可解的.

这样命题得证.

下面是利用本命题的结论去求解一些Riccati 方程：

（1）

可以看出

令

是方程的一个特解.

则原方程变形为

即

积分之，

得到

把代入，即得方程的通解为