2018年山东大学威海校区825线性代数与常微分方程之常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1．
讨论非线性电容的振荡电路系统
（1
）求系统当时的哈密顿函数；
（2）求H （X ，y ）=1
时的同宿轨的参数表示式；
（3
）计算同宿轨
的
函数
（4
）求满足有简单零点的系统混沌的条件.
【答案】
非线性振荡系统
可化为方程组
（1
）当时①为Hamilton 系统，
其哈密顿函数为
（2）H （x ，y ）=1
对应同宿轨道，
故
则得到简化的参数表达式.
令
则得
取
使
即得再积分②，
可得到
的参数形式
（3
）记
令
则
其中易计算出
而
可利用复变积分的残数来求出.
令
则
其中表示
. 的虚数部分去掉i.
对函数
利用Cauchy 定理，
得
其中R （A ）为f （z
）在点处的残数
.
当时
，
故
从而可得
（4
）当参数
满足条件
时
，有简单零点. 从而其解具有混沌性态.
2． 求下列方程组的通积分及满足指定条件的解:
（1
）
（2
）
（3
）
（4
）
当t=0时，x=-2，y=0; 当t=0时，x=y=1;
【答案】（1
）两个方程相加得到
令u=x+y,
则上面方程可以写成
这是一阶线性微分方程，
可解出得
即得原方程的一个首次积分为
两个方程相减得到
解之得
于是得到另一个首次积分为
所以，
原方程组的通积分为
（2）两个方程相加，
得到
解之得
两个方程相减得到
解之得于是，
原方程的通积分为
而满足条件t=0，x=-2，y=0
的特解为
（3
）两个方程相除可以得到
令则得到