2018年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1．
给定方程组
（1
）试证上面方程组等价于方程组
其中
（2）试求（1）中的方程组的基解矩阵；
（3
）试求原方程组满足初值条件
的解.
【答案】（1
）令
把它代入第一个方程得
则由方程组的第二个方程得
又有
所以把
写成矩阵的形式即有
命题得证.
（2
）齐次方程的特征方程为
或
即得到特征值为并且容易得到对应于这3
个特征值的特征向量为
这里是非零常数.
时，
贝幡到方程组的基解矩阵为特别地，
当取
（3
）初值条件
而方程
满足该初值条件的解为
等价于方程
的初值条件
由方程组
的解为与原方程组的等价性可得原方程组的满足初值条件
.
2．
设
或常数，则
.
【答案】
假设
若则是区间上的连续函数，证明：
如果在区间
在区间上线性无关. （提示：用反证法）上有常数
和
，
在区间上线性相关，
则存在不全为零的常数
使得
若
则
在两种情况下，
都与已知条件
在区间
3．
假设
的解，
这里
（1
）
上是线性无关的. 常数或常数矛盾，所以假设不成立，
即证明了
是二阶齐次线性微分方程于区间上连续，试证：为方程的解的充要条件是
（2
）方程的通解可表为
其中
为任意常数
【答案】（1
）充分性因为
而是已知方程的解，
所以
故有
即是已知方程的解.
是方程的解的朗斯基行列式，
所以必要性因为
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