2018年山东大学数学学院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 给定方程
试求
：
【答案】设
，明可得
则在时的表达式. 由教材中解对初值的可微性定理的证
当时，
对应地得到
所以，
在
时
2． 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量
：
【答案】（1）特征方程为
即故特征值为对应于特征值
的特征向量
必须满足线性代数方程组
因此，
对于任意常数是对应于的特征向量. 类似地，可以求出对应于
的特征向量为其中是任意常数.
（2
）特征方程为即得特征值为对于特征值
的特征向量
必须满足线性方程组
因此，
对于任意常数是对应于
数
（3）特征方程为的特征向量. 类似地，可以求出对应于以及对应于的特征向量的特征向量其中是任意常
即得到特征值为对于特征值
（二重根）的特征向量
必须满足解出征向量为其中可得为任意常数. 同理，可求出对应于的特
也是任意常数.
特征方程为即得到特征值为对于特征值其特征向量
必须满足解出得
为
是任意常数.
3．
摩托艇以对应于‘为任意常数. 同理，可以求出对应于•的特征向量为其中的特征向量的速度在静水上运动，全速时停止了发动机，
过了后，
艇的速度减至
确定发动机停止后艇的速度. 假定水的阻力与艇的运动速度成正比例.
【答案】由于水的阻力与艇的运动速度成正比例，根据牛顿运动定律，可得满足条件的方程
为
这里v
表示艇的速度
表示时间表示比例常数.
这是一个变量分离方程，
容易求得其解为
由于t=0
时
又已知
求得时
故取
故
即得到艇的运动方程为