2018年山东大学威海校区825线性代数与常微分方程之常微分方程考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1．
设
是初值问题
的饱和解，
这里是参数，
求
在处的表达式.
【答案】
可以把这里的参数看成普通的常数.
这里
根据教材中解对初值的可微性定理可得
，
当时，则有
2．
方程组
能否由线性近似方程决定其稳定性问题? 试寻求李雅普诺夫函数以解决这方程组的零解的稳定性问题，同时变动高次项使新方程的零解为不稳定的.
【答案】由于对应线性近似方程的特征方程的两个特征值均为零，所以原方程组的稳定性不能由线性近似方程决定.
取
则
所以给定方程组的零解是渐近稳定的.
3．
假设
是二阶常系数线性微分方程初值问题
是方程的解，试证
，
的解，这里f （x ）为已知连续函数.
【答案】
由于
是
的解，
所以满足
对两端关于x
求导数得
对上式再次对x
求导可得
于是
所以
数.
4．
求方程
【答案】通过点是方程的解，这里f （x ）是已知的连续函的第三次近似解.
所以方程
通过点
的第三次近似解为
5． 试求方程组
.
的解
【答案】（1
）特征方程为
即得到特征值为
相应于的特征向量为
，
于是，
齐次方程的通解为相应于
的特征向量为
由常数变易法知，
非齐次方程有下列形式的特解
其中
满足
解之得
积分得
于是
整理得