当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

因为

的特征函数, 由唯一性定理知

, 且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

2． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为

试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数

所以由又因为

和

知X 与Y 不独立.

在对称区间上是偶函数, 故

从而

所以X 与Y 不相关.

3． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

4． 证：事件A 与B 独立的充要条件是

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）

5． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

独立，由此得

即

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

6． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为令

则

的逆变换为

, 所以

此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

7． 设

为独立随机变量序列, 且

证明:

服从大数定律.

相互独立, 且服从大数定律.

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

【答案】因为

8． 设是来自的样本，证明

为

没有无偏估计.

【答案】（反证法）假设的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即

没有无偏估计.

二、计算题

9． 在一个单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下重复次数分别为5，7，6，8. 那么误差平方和、A 的平方和及总平方和的自由度各是多少？

【答案】此处因子水平数r=4，总试验的次数n=5+7+6+8=26，因而有 误差平方和的自由度因子A 的平方和的自由度总平方和的自由度

10．某产品的合格品率为99%, 问包装箱中应该装多少个此种产品, 才能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品.

【答案】设包装箱中装有n 个产品, 其中合格品数记为X , 则有

成立. 利用二项分布的正态近似, 可得

查表可得

由此解得品.

11．设随机变量X 与Y 独立同分布, 其密度函数为

（1）求U=X+Y与V=X/（X+Y）的联合密度函数（2）以上的U 与V 独立吗？ 【答案】（1）

的反函数为

变换的雅可比行列式

, 即每箱装有104个产品, 能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产

下求m 使

所以在（U , V ）的可能取值范围

内, 有