2017年哈尔滨工业大学理学院432统计学[专业硕士]考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量序列证:
【答案】己知则
对任意的
由切比雪夫不等式得
即
2． 设
【答案】因为离散场合,
当
时, g （y ）以概率
. 取
由于在Y 取固定值时,
上式对Y 的任一取值都成立, 即
. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般
场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
3． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若由于-X 的特征函数为
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数, 所以
故
是实的偶函数. 所以得
, 即
先证充分性. 若
是实的偶函数, 则
又因
也是常数, 故有
, 结论得证.
存在, 试证:
是随机变量Y 的函数, 记
, 它仍是随机变量. 在
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
4． 设证:
为一个样本,
是样本方差, 试
【答案】注意到
故
证明完成.
5． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中
）.
样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在
下
于是似然比统计量为
在
时
由于
故只需考虑
的情形，此时A 为
的单
分别为
的MLE.
而在
下
的MLE
为
未知. 证明关于假设
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
【答案】记
调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域
由t 检验的结论知，
这就完成了证明.
都服从区间（0，1）
6． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
又
由
知
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.
7． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 8． 设明: 为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 【答案】不妨 设 又因为 为绝对收敛级数, 可记 . 因为 故有 所以由马尔可夫大数定律知 服从大数定律. 否则 令 , 并讨 论 即可. 由 知 为绝对收敛级数. 令 证 独立，由此得 即 二、计算题 9． 设随机变量X 与Y 相互独立, 试在以下情况下求Z=X/Y的密度函数: （1）（2） 【答案】（1）因为当数为 使上式中的被积函数大于0的区域是 与 的交集, 所以当z>0时, 有 （2）因为当x>0时, 为 时, 且当y>0时, . 所以Z=X/Y的密度函 且当y>0时 , 所以Z=X/Y的密度函数
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