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一、证明题

1． 设

是来自两参数指数分布

的样本, 证明（

）是充分统计量.

【答案】由已知, 样本联合密度函数为

令

2． 证明公式

其中

, 由因子分解定理,

是

的充分统计量•

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.

3． 设总体为韦布尔分布其密度函数为

现从中得到样本

证明

仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.

为

因而最小次序统计量

的分布函数为

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这就证

【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数

这说明.

4． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

5． 设P （A ）>0，试证：

【答案】因为

所以

6． 设计.

【答案】由于

这就证明了

7． [1]设随机变量

[2]设

【答案】利用变换

，是的相合估计. ，求

，证明：

及偶函数性质可得

[2]在题[1]中令

8． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

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独立同分布，，证明：是的相合估

即可得结论.

求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，不等式的下界.

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

记

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

二、计算题

9． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.

【答案】将此问题看成是：5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=1-p（5个人生日全不同月）

10．有一批建筑房屋用的木柱, 其中80%的长度不小于3m , 现从这批木柱中随机地取出100根, 问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？

【答案】记X 为100根木柱中长度不小于3m 的根数, 则斯中心极限定理, 所求概率为

这表明至少有30根木柱短于3m 的概率近似为0.0088.

11．在一时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9，0.8和0.85，求一小时内

（1）没有一台机床需要维修的概率； （2）至少有一台机床不需要维修的概率； （3）至多只有一台机床需要维修的概率.

【答案】设事件A ，B ，C 依次表示甲、乙、丙三台机床需要维修.

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. 利用棣莫弗-拉普拉