2017年湖北师范大学高等数学(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
两端积分，得
于是
代入（s ）。
2． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由
即
得
第 2 页，共 32 页
，代入初始条件：t=0，h=0，得
，即得，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得
，代入
，并
将
后，便是原方程的通解。
代入上式，
有
3． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
故求特解为 4． 设
【答案】由于f （x ，y ）在不同范围内的表达式不同，故应将积分区域划分为如下图所示。
当
时，
第 3 页，共 32 页
，代入。
并整理，得通解，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
求。 两个区域，
当
时，有
当
时，有
当
时，有
综上所述，得
二、计算题
5． 设闭区域D 是由直线x+y=1，x=0，y=0所围成，求证
第 4 页，共 32 页
相关内容
相关标签