2017年东北师范大学高等数学(跨学科加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
（1）（2）
【答案】（1）在方程（2）在方程即
故所给二元方程所确定的函数是微分方程的解。
两端对x 求导，得
。
两端对x 求导，得
，即
，
再在上式两端对x 求导，得
即
故所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解.
2． 小船从河边点0处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为a ，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k ）. 求小船的航行路线.
图
【答案】设小船的航行路线为C :
则在时刻t ，
小船的实际航行速度为速;
为小船的主动速度.
，故有
由于小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向（如图）
分离变量，得
，积分得
，
其中
为水的流
，代入3x=0，y=0，得C=0，故小船航行的路线的方程为
由于小船始发于点（0，0）
3． 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解
（l ）（2）（3）（4）
【答案】（l ）由（2）由于是解。
（3）由进而得于是
故（4）由
于是
=0 故 4． 设
【答案】在算不方便，故令
，其中f 为可微函数，求
。
是所给微分方程的解。
不是所给微分方程的解。
，得
，进而得
，得
，
。
，得，得
，
，故，进而得，
故
是所给微分方程的解。
，
是所给微分方程的
中，由于函数f 不是以单独一个字母作为自变量，从而造成计，得
，故
则
二、计算题
5． xOy 坐标面上的双曲线的方程.
【答案】以
周而生成的旋转曲面方程为
即
以
的旋转曲面方程为
即
6． 求下列函数的n 阶导数：
【
答
案
】
（
1
（2）由
知
7． 求下列函数的微分。
分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面
代替双曲线方程
中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一
代替双曲线方程中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成
）