2017年湖北师范大学高等数学(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设求
。
【答案】综合题中所给条件，可得
2． 镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知，镭经过1 600年后，只余原始量R 0的一半. 试求镭的存量R 与时间t 的函数关系.
【答案】设在时刻t ，镭的存量为
，即
。
，将t=1600，
，代入上式，得
，即
，
，由题设条件知，
，即
，
积分得
，其中f 有一阶连续偏导数，
R=R0，因t=0时，故C=R0，所以
。
3． 设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正 比（比例系数为k l ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用. 求质点运动的速 度与时间的函数关系.
【答案】依题意，有将方程改写成
，则
由t=0, v=0得
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即
，故速度与时间的关系为
4． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
表示什么？
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
二、计算题
5． 设光滑曲线
过原点，且当
时
对应于且
积分得
，用对面积的曲（x ，y ，z ）由初始条件
知
一段曲线的弧长为
求
【答案】根据题设条件得
即
取
故
在积分方程两端对x 求导，
得
6． 设有一分布着质量的曲面，在点（x ，y ，z ）处它的面密度为面积分表示这曲面对于x 轴的转动惯量。
，【答案】设想将分成n 小块，取出其中任意一块记作dS （其面积也记作dS ）（x ，y ，z ）为dS 上一点，则dS 对x 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分，即得对x 轴的转动惯量为
7． 研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:
（1）（2）
【答案】（1）f （1）在[0, 1）及（1, 2]内连续，在x=1处，
，又
（2）f （x ）在处
函数的图形如图2所示。
与但
。
故f （x ）在x=1处连续，因此f （x ）在[0, 2]上连续，函数的图形如图1所示。
内连续，在x=-1处间断，但右连续，因为在x=-1
即
。
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图1 图2
8． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-r，r]对应区间[x，x+dx]的球的薄片的体积为
由于该部分在水面以下重力与浮力的合力为零（因为球的密度与水的密度相同，在水面以上移动距离为r+x, 故作功为
三、证明题
9． 已知向量a=2i－3j ＋k ，b=i－j ＋3k 和c= i－2j ，计算：
⑴（a ·b ）c －（a ·c ）b ； ； ⑵（a ＋b ）×（b ＋c ）⑶（a ×b ） ·c
【答案】 ⑴ a ·b=（2，﹣3, 1） ·（1，﹣1, 3）=8，a ·c=（2，﹣3, 1） ·（1，﹣2, 0）=8；
10．求过点（3, 1，﹣2）且通过直线
【答案】利用平面束方程，过直线
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的平面方程. 的平面束方程为
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