2017年华中师范高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
表示什么？
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
满足
求f （u ）的表达式。
2． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
其中
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为将初始条件故 3． 已知
，其中
，求
及
。
的表达式为
代入，可得
为任意常数。
其中
为为任意常数。
可知
，这是一个二阶常用系数线性
【答案】由
两边同时对X 求导得
得
原方程组两边对y 求导得
，即
得，即
4． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）方程为
，即微分
二、计算题
5． 利用以下联合国统计办公室提供的世界人口数据以及指数模型来推测2010年的世界人口。
【答案】由表中第3列，猜想1986年后任一年的世界人口是前一年人口的1 .018倍. 于是，在1986年后的第t 年，世界人口将是
20 10年对应f=24，于是
（百万）。
，
即推测2010年的世界人口约为76亿。
6． 求函数数。
【答案】按题意，方向又
在点
处沿从点
到点
的方向的方向函
故
7． 求对数螺线
【答案】 8． 计算
【答案】
（等价无穷小，当x →0时，
。
）。
相应于的一段弧长。
三、证明题
9． 设
【答案】取函数（0）=0,
,
由罗尔定理知至少存在一点在（0, l ）内至少有一个零点。
, 证明多项式在内至少有一个零点。
, F （x ）在[0, l]上连续, 在（0, l ）内可导且F
,
使
,
即多项式