2017年哈尔滨工业大学深圳研究生院831高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 已知向量.
【答案】
由于
同时垂直，故所求向量可取为
，（1，﹣1，2）
（3, 3, 1）和
（3, 1, 3）. 求与
同时垂直的单位
由
知
2． 求螺旋线
【答案】由曲线的直角坐标方程为
由方程为
由
得
，故该螺旋线在xOz 面上的投影曲线的直角坐标
第 2 页，共 37 页
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
得
得
，故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标
，故该螺旋线在xOy 面上的投影
方程为
3． 计算由四个平面x=0，y=0，x=1，y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积。
【答案】此立体为一曲顶柱体，它的底是
xoy
面上的闭区
域
，顶是曲面Z =6-2x-3y（图）. 因此所求立体的体积
图
4． 利用定积分的几何意义, 求下列积分:
【答案】（l ）根据定积分的几何意义,
表示的是由直线y=x, x=t以及x 轴所围成的直
, 故有
以及x
角三角形面积, 该直角三角形的两条直角边的长均为t , 因此面积为
（2）根据定积分的几何意义,
表示的是由直线
第 3 页，共 37 页
轴所围成的梯形的面积,
该梯形的两底长分别为因此面积为21。故有
（3）根据定积分的几何意义,
。
表示的是由直线
, 梯形的高为,
以及x 轴所和x 轴所围
围成的图形的面积。该图形由两个等腰直角三角形组成, 分别由直线成, 其直角边长为1, 面积为
由直线y=x, x=2和x 轴所围成, 其直角边长为2, 面积为2。因此（4）根据定积分的几何意义, 半圆的面积, 因此有
5． 求曲线y=sinx往具有下列横坐标的谷点处切线的斜率:
【答案】由导数的几何意义知
。
表示的是由上半圆周
以及x 轴所围成的
6． 一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，﹣4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径
【答案】设所求球面的方程为标代入上式，得
a ²＋b ²＋c ²=R² （8-3） （a －4）²＋b ²＋c ²=R² （8-4） （a －1）²＋（b －3）²＋c ²=R² （8-5） a ²＋b ²＋（4＋c ）²=R² （8-6）
联立式（8-3）（8-4）得a=2，联立式（8-3）（8-6）得c=﹣2，将a=2代入（8-4）（8-5）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为（x －2） ²＋（y －1） ²＋（z ＋2） ²=9，其中球心坐标，半径为3. 为（2，1，﹣2）
7． 已知，计算在x=2处当△x 分别等于1, 0.1, 0.01时的△y 及dy 。
【答案】因为
于是
第 4 页，共 37 页
将己知点的坐