2017年哈尔滨工业大学理学院831高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 将下列曲线的一般方程化为参数方程：
【答案】（1）将y=x代入取
，则
，得
，从而可得该曲线的参数方程
（2）将z=0代入取
，则
，得
，从而可得该曲线的参数方程
2． 下列各题中，函数f （x ）和g （x ）是否相同? 为什么
?
【答案】（l ）不同，因为定义域不同。 （2）不同，因为对应法则不同，
（3）相同，因为定义域、对应法则均相同。
（4）不同，因为定义域不同。
3． 计算下列三重积分：
（1）分；
（2）（3）所围成的闭区域。
【答案】（1）解法一：利用直角坐标，采用“先重后单”的积分次序。 由
解得
，于是用平面
把分成
和
两部分，其中
，其中是由球面
，其中是由xOy 平面上曲线
所围成的闭区域；
绕x 轴旋转而成的曲面与平面x=5
，其中是两个球：
和
的公共部
（图）
图
于是
解法二：利用球面坐标计算。作圆锥面
，将分成
和
两部分
于是
（2）由于积分区域关于xOy 面对称，而被积函数关于z 是奇函数，故所求积分等于零。 （3）积分区域由旋转抛物面因此可表示为
于是
和平面x=5所围成，在yOz 面上的投影区域
4． 已知单摆的振动周期
，其中
1为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，
为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？
【答案】由故
即摆长约需加长2.23cm 。
5． 计算下列极限：
（1）（2）（3）
；
，得