2018年华南师范大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
为任意常数.
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
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显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数
.
3． 设矩阵
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解
，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
求一个秩为2的方阵
B. 使
【答案】令
即
取.
进而解得的另一解为则有.
的基础解系为
：
方阵B 满足题意.
令 4． 已知
，求
【答案】令则且有1
所以
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二、计算题
5．
举例说明下列各命题是错误的：
（1）若向量组（2
）若有不全为零的数则
线性相关，
（3）若只有当
线性无关，（
4）若
线性相关
，则
可由
，
使亦线性相关. 全为零时，
等式亦线性无关
.
线性相关，
亦线性相关，则有不全为零的数
同时成立.
【答案】命题（1）是错误的
，反例I 取向量它含有零向量，
但
并不能由
线性表示.
命题（2
）是错误的，反例
：
取
成立，但
命题（3）是错误的，反例：取
此时若有
和向量组
都线性相关
.
，
则向量组
，使
同时成立，因由上而第一式可得
于是， 6． 设
求
，同理由第二式得
和向量组
线性无关
，
也线性无关.
成立，只有
，
但向量组
再取
，则有
，则向量组
线性相关，因
使
才能成立，则
线性表示.
成立
，
命题（
4）是错误的，反例：
取
均线性相关.
但对此两向量组+存在不全为零的数
【答案】利用矩阵A 的相似对角阵来求
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