2018年华中科技大学生命科学与技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
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有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
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（Ⅱ）
3． 已知
A 是
3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与
A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量
： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
是
3维线性无关列向量，且
知
的基础解系，即为
的特征向量
（Ⅱ
）由
A 的特征值为
-1, -1，-1.
对于矩阵B
，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是全为0.
（Ⅲ）由
知
故
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芄中
不
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4． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
二、计算题
5．
设
求
【答案】利用矩阵A
的相似对角阵来求（1）求A 的特征值：
所以A
的特征值为（2
）对应
解方程
并且它们互不相同，知A 可对角化. 由
得特征向量
对应
解方程由
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