2018年华南师范大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2． 已知实二次
型
为任意常数.
的矩阵A ，满
足
且其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型
的具体表达式.
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【答案】（Ⅰ）由由
知
，B 的每一列
满足
知矩阵A
有特征值
即
是属于
A 的特征值.
则
与
—
j 正交，
于是有
令
的线性无关特征向
显然
B 的第1
, 2列线性无关
，量，
从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
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3． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
的基础解系
.
有无穷多解，矩阵
A
的特征值是
1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时
，方程组均有无穷多解。
当a=-l时
，
则当g=0
时
，则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（
Ⅱ）
4． 求个齐次线件JTP 技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，设所求的方程组为
由这两个方程组知，所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
知
的基础解系，即为
的特征向量
二、计算题
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