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一、分析计算题

1． 设

（1）如果（2）如果

【答案】（1）因为性组合.

由

（2）对任一

2． 设

可推出由

是欧氏空间V 的一组基，证明： 使

对任一

有因此

可得

得那么

那么

由（1）得在这组基下的矩阵为

都是

的线

是欧氏空间的一组基，对任一

是四维线性空间V 的一组基，线性变换

（1）求在基

下的矩阵； （2）求

的特征值与特征向量；

成对角形.

（3）求一可逆矩阵T ，使【答案】⑴

在

下的矩阵为

（2）

特征值为

则

满足方程组

属于特征值0的特征向量设为

（1, 0, 0, 0）及（0, 1, 0, 0）是它的一组基础解系. 属于特征值0的全部特征向量为

取不全为零的任意数值.

属于特征值1的特征向量设为

则

满足方程组

（-7, 5, 3, 5）是基础解系. 属于特征值1的全部特征向量是

取任意数值.

属于特征值

的特征向量设为

则

满足方程组：

（-8, 6, 1，2）是它的基础解系，属于的全部特征向量是

取任意数值.

（3）取

则

3． 设，为的代数余子式，，证明：如果D 的某行的元

素全为1，则

【答案】不妨设D 的第一行元素全为1，即

则有又所以

4． 求齐次线性方程组

并将之扩充为R4的标准正交基.

【答案】将方程组的增广矩阵化为简化阶梯形

方程组的一般解为

这里

的解空间（作为R4的子空间）的一组标准正交基，

是自由未知量. 取解空间W 的基：先正交化，得