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一、分析计算题

1． 设

为复数域上全体n 元向量作成的集合.

作成实数域上2n 维空间，并且

为其一基（i 是虚单位）. ②求

中向量

在此基下的坐标.

使

则得故又显然（请留意

②故

在基

从而

线性无关.

中每个向量都可由是复数域上的n , 维空间）.

均为实数），则显然

之下的坐标为

证明： 线性表示，因此它是

的一基，

的维数是2n

【答案】

作成实数域上线性空间显然. 又若有实数

①证明：

2． 设A 为n 阶矩阵，I 为n 阶单位矩阵，且

（1）（2）所以

和B 相似.

【答案】（1）方法1由于

可逆.

由于且因此方法2由于

可逆.

所以3可逆矩阵P ，使

为阶幂零若当块，

从而有

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这里

为对角线上元素全为1的三角形矩阵，i=l, 2，... ，t 。 可见可逆，从而B 可逆. （2）由（1）得

显见C ,

这里为阶若当块.

所以只要证与初等因子一致即可

3． 设3阶实对称阵A 的特征值是1，2, 3.矩阵A 属于特征值1, 2的特征向量分别是

（1）求A 属于特征值3的特征向量；

（2）求矩阵A.

【答案】（1）没A 属于特征值3的特征向量为

由于A 是实对称阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以有

由齐次方程组①得基础解系

这里a 0就是A 属于特征值3的特征向量. （2）令

则由可得

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4． 设是有限维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间.

的一组基

表示由W 中向量的像组成的

子空间. 证明

：

【答案】取因

把它扩充成W 的一组基

故设

于是

使

它又须是的线性组合，就有一组数

或

又由了

线性无关，故

线性无关，因而是

的一组基. 现在

特别地

证明

5． 求k , s, t满足何条件时有

【答案】解法

I

则其商必为

展开后比较同次项系数，

即

. 即

比较系数得

于是解法

II

去除

令②用令

6． 如果

不全为零. 证明：

【答案】根据定理2, 有多项式是

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因此当时

得余式为

当

由此即得结论. 得余式为

由此即得结论.

使于