2017年西北师范大学教育学院636数学教育综合之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明：(1) 界的；(2) 若
【答案】(1) 不妨设对一切的
(2)
因 均有
故当又对每个
令
.
2． 证明：若数列
(1) 级数. (2) 当时，级数
【答案】(1) 级数的前n 项和
则
(2) 级数的前n 项和
3． 设函数f (x ) 在闭区间[a，b]上无界，证明:
(1) 存在(2) 存在
使得使得对任意的
使得
满
足
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且f 在上有界，则由
从而，
证明对所有
至多除有限项外在上是一致有
在上一致有界. 存在N , 当
故
存在
当
时，
除前
可得，对于有
且对每个正整数II ，在上有界，则
均有
面N 项(有限项) 外是一致有界的.
由柯西准则知，
对任意正数
时，
对所有
时，对所有
有
则对所有正整数N 及对一切有>发散；
，则
均有
即
在上一致有界.
在上有界，特别地，
故级数发散.
在
使
所
以
上无界.
同样由，
【答案】(1) 因为f (x ) 在闭区间[a, b]上无界，所以存在f (x ) 的无界性知，存在，
如此继续，可
得
(2) 由致密性定理知，(1) 中的数列c 就是满足要求的点.
存在收敛子列(不妨仍记为本身) ，记此时的
二、解答题
4． 设f (x ) 在
上连续，
求最小. 【答案】设
为f (x ) 在
上的傅里叶系数，而
上式第一、三项为常数. 由此可见，当且仅当
时最小，最小值
5． 1) 试求三角多项式
的傅里叶级数展开式. 2) 设f 为
【答案】当
时，积分
取最小值，且最小值为
上述答:1) 因
是第1) 题中的三角多项式是以
为它的傅里叶系数.
) 上展开为傅里叶级数，
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(即确定系数使均方差
上可积函数为f 的傅里叶系数，试
为周期的光滑函数，所以可在
所以在
上有
的傅里叶展开为
即其傅里叶级展开是其自身. 2) 依题意
其中
所以
由上式可得，当且仅当且最小值为
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时积分•取最小值，