2017年南京大学2110概率论复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量（X ，y ）的概率密度为
（I ）求条件概率密度（II ）求条件概率
【答案】（I ）X 的概率密度为
当x>0时，Y 的条件概率密度为
（II ）y 的概率密度为
2． 某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列
：均缺陷数.
【答案】由题意知Y=X+1可看作服从几何分布Ge （1/2）的随机变量，所以E （Y ）=2，由此得E （X ）=E（Y ）-1=1.
3． 有两位化验员A 与B 独立的对一批聚合物含氯量用同样方法各进行10次重复测定，其样本方差分别为0.95置信上限.
【答案】在正态分布下，两样本方差比服从F 分布，具体是
从而
有
即
故R
的
置信上限为
与
若A 与B 的测量值都服从正态分布，求其方差比
的
求此种产品上的平
，现查表知故R 的
置信上限为
4． 有20个灯泡, 设每个灯泡的寿命服从指数分布, 其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡, 当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的, 求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.
【答案】
记
为第i 个灯泡的寿命（单位:天）
,
由林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为
5． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：
（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.
（2）因
为
而当
6． 设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为的相关系数
求二维随机变量（X ，F ）的联合概率分布；求概率
且X ，Y
时，有P （AB ）达到最小值0.4.
所以有
所以当P （AB ）=P（A ）则
且
【答案】由于X ，Y 的概率分布相同，故
显然
相关系数
所以故又而
的联合概率分布：
所以故
从而得到故得到（X ，F ）
（2）
7． 设离散随机变量X 服从几何分布以此求E （X ）和
【答案】记
则
. 试求X 的特征函数, 并
它的前二阶导数为
由此可算得几何分布的期望和方差为
8． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间（
）？
【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为
若取
则
拒绝域为
由样本观测值计算得：
因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.
样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对的
二、证明题
9． 设正态总体的方差
为已知值，均值只能取或
若检验拒绝域取
为
（1）试验证：（3）当
【答案】（1）由于
从而在并且要求
则检验犯第二类错误的概率
为给定时，有
两值之一，为总体的容量n 的
样本均值. 考虑如下柃验问题
（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？
时，样本容量n 至少应为多少？
故检验犯第二类错误的概率为
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