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一、计算题

1． 设

其中

试问

是否服从大数定律？

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为

【答案】因为

由柯西积分判别法知上述级数收敛, 故

存在, 所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

2． 在一个单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下重复次数分别为5，7，6，8. 那么误差平方和、A 的平方和及总平方和的自由度各是多少？

【答案】此处因子水平数r=4，总试验的次数n=5+7+6+8=26，因而有 误差平方和的自由度因子A 的平方和的自由度总平方和的自由度

3． 设随机变量X 的密度函数为

如果已知E （X ）=0.5，试计算【答案】因为

，联立（1）（2）解得a=6，b=-6.由此得

所以

4． 设是来自指数分布的一个样本，对如下检验问题：

是来自另一指数分布的一

个样本，且两样本相互独立，若设

在显著性水平为的场合给出拒绝域.

【答案】由于指数分布是特殊的伽玛分布，具体是于是

同理可得在原假设检验拒绝域为

在给定显著性水平

由两样本相互独立可知

成立下，有

从而有或

可查表得

譬如，若两样本量与样本均值分别

从而得拒绝域

拒绝原假设.

5． 设

【答案】记

或

如令

它不在拒绝域内，故不能

为来自的样本，试求假设样本的联合密度函数为

的似然比检验.

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，

函数是

从而似然比检验等价于采用检验是等价的.

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方在（0, 1）区间内单调递增，

在（

）上单调递减，于

分别为

的MLE , 而在

上

为u 的

6． 某种绝缘材料的使用寿命T （单位服从对数正态分布：小时）小时，

【答案】由位数为

其中

为标准正态分布N （0，1）的分位数，所以根据题意有

代人上面两式，可解得

小时

，

若已知分位数

的平p 分

知对数正态分布

将

7． 设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布.

【答案】X 的可能取值为0，1，2, 其概率分别为

将以上结果列表为

表

8． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间（

）？

【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为

若取

则

拒绝域为

由样本观测值计算得：

因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.

样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对的

二、证明题

9． 设

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

（1）