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一、计算题

1． 设总体密度函数为

【答案】对数密度函数为

x ＞0, θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.

于是

由此给出

2． 在一个有n 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.

【答案】记

则由此得

又因为但因为

间不独立, 所以

为计算所以

因此

由此得

先给出

的分布列, 注意到

的可能取值为0, 1. 且

所以

是同分布的, 但不独立. 其共同分布为

3． 设二维随机变量的联合密度函数为

中至少有一个发生的概率为

求X 与Y

中至少有一个小于0.5的概率.

【答案】两事件

4． 由正态总体

【答案】因为

抽取容量为20的样本, 试求

所以

, 用

表示服从

的随机变量的分布函数值, 则

利用统计软件可计算上式. 譬如, 可使用MA TLAB 软件计算上式:在命令行输入则给出一次性给出

输入

这里的

则给出0.0318, 直接输入

就表示自由度为k 的

则

分布在x 处的分布函数值. 于是有

5． 某种商品一周的需求量是一个随机变量, 其密度函数为是相互独立的, 试求（1）两周需求量的密度函数

【答案】记为第i 周的需求量,

服从伽玛分布（1）（2）

根据题意知

设各周的需求量

相互独立,

且密度函数都为

（2）三周需求量的密度函数

所以由伽玛分布的可加性知 其密度函数为

其密度函数为

6． 设电路由A ，B ，C 三个元件组成，若元件A ，B ，C 发生故障的概率分别是0.3，0.2，0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：

（1）A ，B ，C 三个元件串联； （2）A ，B ，C 三个元件并联；

（3）元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成.

【答案】设事件A ，B ，C 分别表示元件A ，B ，C 发生故障.

（1）因为串联电路中任一元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为

（2）因为并联电路中所有元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为

（3）由题意知，所求概率为

7． 设随机变量X 服从区间（1，2）上的均匀分布，试求

【答案】X 的密度函数为

2）由于X 在（1，内取值，所以2）上为严格单调増函数，其反函数为函数为

8． 9名学生到英语培训班学习，培训前后各进行了一次水平测验，成绩为：

表

的可能取值区间为1

，且

且

所以

在区间（1，

的密度

的密度函数.

（1）假设测验成绩服从正态分布，问学生的培训效果是否显著？ （2）不假定总体分布，采用符号检验方法检验学生的培训效果是否显著.

（3）采用符号秩和检验方法检验学生的培训效果是否显著. 三种检验方法结论相同吗？ 【答案】（1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，可通过对t 检验进行.

一对假设为

统计量值为

由于

于是检验的P 值为

做单样本故可算出检验

p 值大于0.05，在显著性水平0.05下不能认为学生的培训效果显著. （2）由于

正数的个数为2，从而检验的p 值为

P 值大于0.05，在显著性水平0.05下也不能认为学生的培训效果显著. （3）由于两个正的差值的秩分别为4.5和6，故符号秩和检验统计量为边假设检验，检验拒绝域为

在给定

下，查表13可知

测值没有落入拒绝域，故也不能认为学生的培训效果显著，三者结果一致.

这是一个单

观

二、证明题