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一、计算题

1． 计算

【答案】解法一:令

则

解法二:令

则

2． 试问如何把定义在的形式:

（1）（2）

【答案】（1）将在即

对上述延拓再作偶延拓,

使

上为偶函数, 且为满

足

及

则此时所得的延拓函数在

的可积函数, 从

而

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上的可积函数f 延拓到区间

上定义的可积函数f 作延拓, 使

内, 使它们的傅里叶级数为如下

时, 满足

已知

故其傅里叶级数的形式为

（2）将f （x ）作一奇延拓,

使

及

且满足

时

,

从而

时满足

对该延拓再作一奇延拓,

使

上的可积奇函数,

故其傅里叶级数的形式为

3． 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值，

（1）（2）（3）

【答案】（1）解方程组由于在边界﹣2）上，值﹣4.

（2）解方程组数的稳定点及其函数值有:

而边界点（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0, ﹣1）的函数值都等于1，所以函数的最大值点为（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1），最大值为1, 函数的最小值点为（0，0），最小值为0.

（3）解方程组在区域内部仅而在边界

为稳定点

得cosx=cosy因此稳定点在x=y或

，

上函数值均为零，

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则此时所得的延拓函数是在

（n=0, 1, 2, …）, 已知

得稳定点（0, 0）.

所以（0, 0）不是极值点.

上，

由

得稳定点x=0, 这时，

在点（0, 2）和（0，

比较

同理，在边界点（2, 0）和（﹣2, 0）上，

各点的函数值知，在点（2, 0）, （ ﹣2, 0）函数取最大值4, 在点（0, 2）, （0, ﹣2）函数取最小

得稳定点（0, 0）, 函数值z （0, 0）=0.考察边界上相应一元函

上，

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所以函数在点取得最大值，在边界上取得最小值为0.

4． 计算下列第一型曲线积分:

（1）（2）（3）（4）（5）（

6）（7

）

【答案】（1）

（2）右半圆的参数方程为

从而

（3）

-

（4）由于圆的参数方程为从而

（5）

（6）

（7）其截线为圆

其参数方程为

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其中L 是以0 （0, 0）, A （1, 0）, B （0, 1）为顶点的三角形; 其中L 是以原点为中心, R 为半径的右半圆周; 其中L 为椭圆其中L 为单位圆周

. 其中L 为螺旋线

, 其中L

是曲线

,

其中L

是

,

,

与z=y

相交的圆周.

在第一象限中的部分;

的一段;

的一段;