2018年同济大学航空航天与力学学院832数学分析之数学分析考研强化五套模拟题
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一、解答题
1． 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:
⑴（3）
【答案】（1）令
（2）
（4）
dx=2tdt
而当
, 有
9
而当又
而（2）
绝对收敛.
（3）令令
. 则
可见
时, g （X
）在
上单调趋于0, 由狄利克雷判别法知,
由狄利克雷判别法知
. 散,
并且综上所述, （4）当
时,
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,
时
, 单调趋于0. 故由狄利克雷判别法知:收敛.
是发散的. 故发散. 所以在
, 由定理推论3.
是条件收敛.
收敛. 再由定理,
, 则
>
收敛
.
收敛.
但由于
,
故
发散.
, 发
条件收敛.
由
且
发散, 故
发散, 于是
令
, 则
所以. 当
时, g （x ）是单调递减的, 且有, 由狄利克雷判别法,
由此得可以证明 2． 设
【答案】因为
3
．
设
【答案】由’
求所以
, 其中z=f（x , y ）由方程
所确定的隐函数求
故
4． 应用幂级数性质求下列级数的和:
（1） （2） 【答案】⑴设
则
所以
从而
（2）可求得
的收敛域为（﹣1, 1], 设
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发散, 且有
令
收敛
, 于是
收敛的方法,
条件收敛.
, 则
收敛.
发散. 用上面证明收敛. 故
及
所确定的隐函数
z=f（x , y ）得
.
则
故
从而
5． 设f
在
（c 为常数）. 【答案】由题意可知, 故故
其中
为常数.
在任何有限区间内连续, 且
由
积分可得
,
上有任何阶导数, 记
, 且在任何有限区间内,
, 试证
6． 直径为6米的一球浸入水中, 其球心在水平面下10米处, 求球面上所受浮力.
【答案】如图所示, 球面在水深x 米处所受压力的微元为
故球面所受总压力为
由力的平衡可知, 球面所受浮力为一1108.35kN.
图
二、证明题
7． 设f x , f y 在（0, 0）点附近存在, 且在（0, 0）点可微, 证明:
, 【答案】因为f x , f y 在（0, 0）点可微, 所以两个混合偏导数相等. 由于
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, . , 都存在. 下证:
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