2018年上海理工大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （z ）是在
（1）明：级数
【答案】
即这里 2． 用
方法证明:
由比值判别法知
绝对收敛.
（2
）绝对收敛.
内的可微函数，且满足：
其中0 证 【答案】则 因此, 存在 当 时, 便有 即 3． 按定义证明下列函数在其定义域内连续: （1）（2）【答案】（1）设 -的定义域是 对于任给的 , 限制 第 2 页，共 36 页 , 因为f （x ）的图像关于原点对称, , 由 所以只需对x>0的情形进行证明. 得 在其定义域内连续. . 取 . , 则当时, 于是, f （x ） （2）f （x ）的定义域是R , 任取由 是, 在其定义域内连续. 4． 证明:若级数 与收敛, 则级数 知, 对于任给的, 取, 则当时, , 于 和也收敛, 且 【答案】因为 又所以 及 均收敛, 所以 收敛, 故 收敛. 又因为 收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式 及闵可夫斯基不等式 对 5． 证明反常积分 【答案】因为 所以只需证明记 收敛即可. 则对任意 在 上单调递减, 并且 收敛, 故 收敛. 是收敛的. 取极限, 进而可得所证明的不等式. 由狄利克雷判别法可知 二、解答题 6． 讨论下列函数的连续性: （1）（2） 第 3 页，共 36 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ （3）（ 4）（5）（6） . （ 7） （8）. 【答案】（1）函数f （x , y ）在集合: 上连续. 事实上, 当 时, 由tanu 在 连续知 故（2）设 于是当可见（3）因为 充分小时, 对任意的在 处连续, 可见f 在D 上连续, 又f 在 且 就有 故f 在D 上连续. 从而 所以又在续. 因此, 在 时, 从而 所以 在点（0, 0）处连续, 又在 故（5）设 在点 处连续, 因此, 在整个平面R 上连续. 则 2 上无定义, 因而在则存在 使从而 上处处间断. （即x+y=k）上处处不连续. 在点（0, 0）连续. 1的点（x , y ）处, 由于f （ x , y ）是初等函数且在这些点处有定义, 故f （x , y ）连 上连续 , 又在任意点 处间断, 故仅在D 上连续. （4）因为当 的点处. （i ）当冲为有理数时, 第 4 页，共 36 页
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