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一、证明题

1． 证明:函数

（a 、b 为常数）满足热传导方程:

【答案】因为

所以

2． 设级数

满足:加括号后级数

符号相同，证明

【答案】因为所以

设故

又当

存在，即

3． 证明:若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割, 则T’, 所以我们只需证p=l的情形.

在T 上添加一个新分点, 它必落在T 的某一小区间内, 而且将分为两个小区间, 记作

但T

的其他小区间

仍旧是新分割

所属的小区间, 因此, 比较

与

与的各

【答案】设T 增加p 个分点得到T’, 将p 个新分点同时添加到T , 和逐个添加到T , 都同样得到

时必有

从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

则

收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛. 收敛，所以其中

又因为括号内符号相同，

存在. 又对任意的n ，存在k ，使得

个被加项,

它们之间的差别仅仅是前者中的

一项换为后者中的

故

»

两项. 又因函数

在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅, 即有

即

就有

一般的, 对增加一个分点得到

这里

4． 设

,

故

为单调数列. 证明:若

_

存在聚点, 则必是惟一的, 且为

中含有无穷多个中只能含有即任给

的确界.

.

令

,

则当

【答案】

设

,

则

时

,

假设,

使综上, 若

是一个单调递增数列.

假设,

于是

是它的两个不相等的聚点,

不妨设

中的点,

设

中有穷多个点, 这与是聚点矛盾. 因此, 若

0, 按聚点的定义

,

存在聚点, 则必是惟一的.

无界,

则

存在正整数N , 当n>N时,

有界. 对任给的

, 的确界.

上分别一致收敛于f , 于是小于M 的只有, 由聚点定义,

必存在

有限项, 因此不可能存在聚点, 这与已知题设矛盾,

故

按上确界定义知有聚点, 必惟一, 恰为

5． 证明:若f , g 均为和g , 则

上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在

其中

为f 的傅里叶系数,

为g 的傅里叶系数.

上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在

上

【答案】依题意, f ﹢g 与f ﹣g

均为

分别一致收敛于f ﹢g 和f ﹣g , 由帕塞瓦尔等式可知

两式相减即得

6． 设f 在

【答案】由

上连续, 且

, 证明

, 当x>X时, 有

从而

知, 对于数1, 存在

即f （x

）在可得.f （X ）在

内有界, 又由f （x ）在上有界. 设

, 将

上连续知, f （x ）在分拆成两项

上有界. 综合上面

其中第一项当时必趋于零. 事实上

, 使

, 从而

对第二项使用第一中值定理, 存在由于

时

,

, 所以

故证得

二、解答题

7． 已知函数

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

（7）

【答案】（1）关于x 轴作（2）关于y 轴作（3）关于原点作（4）对（5）对数值为负的地方变为

（6）对（7）从以

的图像的对称图像, 就得到

的图像. 的图像.

, 原函数值为0的地方仍然为0, 原函

的图像.

的图像的对称图像, 就得到）的图像的对称图像, 就得到

的图像, 试作下列各函数的图像:

的图像, x 轴以上的部分保持不变, x 轴以下的部分对称地翻转到x 轴以上. 的图像, 原函数值为正的地方变为

的图像, x 轴以上的部分保持不变, x 轴以下的部分变0.

的图像出发, 把x 轴以上的部分变为0, x轴以下的部分翻转到x 轴上方. 为例, 本题的各种情形如图1〜图4所示.