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一、证明题

1． 设函数f (x ) 在x=0连续，并且

【答案】

于是，有

求证：

存在，并且

把这些式子左右两边对应相加得

由于

在x=0连续，对

取极限，

此即

2． 设常数A ，B ，C 满

足

变为方程

程

的两个不同实根.

【答案】由已知得关系式

于是

同理

将其代入方程中整理得

由已知条件，原方程变为

所以有

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存在，且

把方

程

为方

，且线性变

换

其中u (x ，y ) 具有二阶连续偏导数. 证明：

由知，一元二次方程有两个不等的实根，而由前两个方程知

为方程的两个根，由第三个不等式知

3． 设f 为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数：

【答案】

4． 设

在点

的某邻域内存在且在点

可微，则有

【答案】应用中值定理有

由在处可微知

所以. 同理由在处可微得

从而

二、解答题

5． 求下列极限：

【答案】

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6． 求最小实数C ，使得满足

【答案】一方面

另一方面，如果取

则有

而

由此可知，最小实数

7． 计算积分

其中D 是

围成的区域.

的连续函数

都有

【答案】由题意知，所求的积分为

8． 讨论下列函数在给定点或区域上的连续性：

(1)

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