2017年成都理工大学管理科学学院611数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.
【答案】不妨设
若
取
同样，若若
有
且满足因为f (x ) 在由于
2． 证明：设方程
取
得证；
若
如此继续可得闭区间套
且
故有
时，有
处连续，故
所以
所确定的隐函数
取满足
于是由闭区间套定理知存在惟一的
于是
若
若
得证；
取
于是
有
具有二阶导数，则当
【答案】由题设条件可得
故
所以
3． 设f (x ) 在
(1) (2) 设(3) 若条件改为
【答案】(1)
由界. 根据单调有界定理
(2) 设因此
上连续，满足则有
则
知，
数列为收敛数列.
上连续，对
设证明：
为收敛数列；
为递减数列.
由
两边取极限，得
时
所以由
|知，
数列有
由于f
在
(3) 此时(1) ，(2) 的结论仍成立.
因为当
4． 若
在
只
要
内连续，且
则
对又因
为
可推出
存在，求证：存
在
在
则有
使得
当
在
时
，
内有界.
即
有使
得
【答案】
设
上连续，所以存
在
即
在内有界.
二、解答题
5． 设y=y（x ）是可微函数，求
其中
将x=0代入，可解得y （0）=0, 再将x=0代入，得
6． 求螺旋面
【答案】由于为
的面积.
所以曲面积
【答案】将已知等式两边对x 求导得
7． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积。
图
【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到
被柱面
所截部分的曲面面积.
且
设曲面面积为S ，则
9． 求
（a 为常数）.
【答案】（1）当a=-1时，
（2）当
吋，
故
10．求空间曲线
【答案】将
代人参数方程得
8． 求锥面
【答案】由于曲面在xy 平面上的投影区域为
在(对应) 处的切线方程和法平面方程.
该曲线的切向量为
由此得切线方程为
法平面方程为