2017年成都理工大学管理科学学院611数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
是[a, b]上非负连续函数，
在[a, b]上点态收敛于u (x ) . 证明：u (x ) 在[a, b]上
一定达到最小值.
【答案】记在点列
且
下证：
由
在点
处的连续性知，
当
由于
递增，故更有这样便有
这与
2． 求证
：
(2) 序列【答案】(1) 令
是最小值点
(2) 显然序列第(1)
小题，有
3． 设函数f (x ) 在x=0连续，并且
【答案】
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则
使
使
递增趋向于u (x ) ，且由致密性定理知，
设则存不妨设
存在收敛子列，仍记为
反证法 若不然，则由
时，有
知，
使
于是存在适当大的k ，
使
相矛盾.
的极限存在.
，则有.
存在，只要肯定序列
有上界即可. 为此利用
且
单调递增，为了证明极限
求证
：存在，并且
于是，有
把这些式子左右两边对应相加得
由于
在x=0连续，对
取极限，
此即
4． 设
其中f 为可微函数，验证
【答案】设
则
所以
存在，且
二、解答题
5． 试作适当变换，把下列二重积分为单重积分：
其中
其中
【答案】(1) 经过极坐标变换后
(2) 积分区域D 如图1 所示，由它的对称性及被积函数关于x 和关于y 都是偶函数，知积分值等于4 倍的第一象限部分有
所以
上的积分值，其中
，应用极坐标变换，
其中D 为圆域：
，其中
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图1
(3)
令
所以
(4) 令
则
原积分区域(如图2) 变换成
所以
则
原积分区域变换
成
图 2
6． 计算积分
其中
是关于y 的奇函数，故
作极坐标变换：
则
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【答案】因为积分区域D 关于x 轴对称，而