2017年浙江理工大学理学院912高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求旋转抛物面
【答案】联立
，得
在三坐标面上的投影.
. 故旋转抛物面在xOy 面上的投影为
如图所示
图
联立区域.
同理，联立
围成的区域.
2． 计算下列三重积分：
（1）分；
（2）（3）所围成的闭区域。
【答案】（1）解法一：利用直角坐标，采用“先重后单”的积分次序。
，其中是由球面
，其中是由xOy 平面上曲线
所围成的闭区域；
绕x 轴旋转而成的曲面与平面x=5
，其中是两个球：
和
的公共部
得
. 故旋转抛物面在xOz 面上的投影为由
及z=4所
得
. 故旋转抛物面在yOz 面上的投影为由
及z=4所围成的
由解得，于是用平面把分成和两部分，其中
（图）
图
于是
解法二：利用球面坐标计算。作圆锥面
，将分成
和
两部分
于是
（2）由于积分区域关于xOy 面对称，而被积函数关于z 是奇函数，故所求积分等于零。 （3）积分区域由旋转抛物面因此可表示为
和平面x=5所围成，在yOz 面上的投影区域
于是
3． 求当x →0时，
【答案】由题意知
因为
所以
因为
，所以
不存在。
的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在。
4． 将下列个周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）：
【答案】（1）函数f （x ）是半周期
的偶函数，故