2017年浙江理工大学理学院912高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 己知某车间的容积为30×30×6m 3，. 现以含CO 20.04%其中的空气含0.12%的CO （以容积计算）2的新 鲜空气输入，问每分钟应输人多少，才能在30 min后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?（假定输入的新鲜 空气与原有空气很快混合均匀后，以相同的流量排出. ）
3
，则【答案】设每分钟输入v （m ）的空气. 又设在时刻t 车间中CO2的浓度为x=x（t ）（%）
在时间间隔[t，t +dt]内，车间内CO 2的含量的改变量为
即
且
即
代入初始条件
依题意，当t=30时，
故每分钟至少输入新鲜空气
2．
求函数
在曲线
上点
处，沿曲线在
将
代入上式，解得
可得
于是有
将上述微分方程两端积分，得
该点的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数。
【答案】先求曲线在给定点的切线方向 因为
，所以曲线在点
。又
故
处的切线的方向向量可取为
3． 在抛物线y=x上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的
2
切线平行于这条割线?
【答案】割线的斜率
2
即2x 0=4， 故x 0=2，
假设抛物线上点（x 0，x 0）处的切线平行于该割线，则有
由此得所求点为（2，4）。
4． 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况下求链 条滑下来所需要的时间:
（l ）若不计钉子对链条所产生的摩擦力; （2）若摩擦力为lm 长的链条的重量.
【答案】设链条的线密度为，则另一端离钉子离钉子x=x（t ）
即
解
得
又
将
，代入初始条件），取
则链条的质量为，当t=0时，x=12. （如图）
又设在时刻t ，链条的一端
按牛顿定律，有
由特征方
程
即故
（或
）
求得方程通
解
（或即
（1）若不计摩擦力，则运动过程中的链条所受力的大小为
且有初始条
件代入方程，
得
得
x=20，
得
（2）摩擦力为1m 长链条的重量即为偌，则运动过程中的链条所受力大小
为
按牛顿定律，有
且有初始条件
满足该条件的特解为
取x=20, 得
即
即
5． 画出积分区域，并计算下列二重积分:
（1）（2）（3）（4〕
，其中D 是由两条抛物线，, 其中D 是由圆周, 其中
，其中D 是由直线
【答案】（l ）D 可用不等式表示为
所围成的闭区域;
及y 轴所围成的右半闭区域;
； 及
所围成的闭区域.
（图1）
于是
图1
（2）D 可用不等式表示为
（图2）
故