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一、证明题

1． 证明:若f 在[a, b]上可积, F 在[a, b]上连续, 且除有限个点外有

【答案】对[a, b]作分割个点为部分分

点, 在每个小区

间

,

使

于是

因为f 在[a, b]上可积, 所以令

2． 设函数f 在（a , b ）上连续, 且

【答案】在（a , b ）内任取一点使得

同理, 存在

时有

①

, 使得当

时, 有

②

由f 在（a , b ）上连续可知, f 在区间由闭区间连续函数的最值定理知, f 在对一切

都有

③

由式①, ②, ③知, f 在

内能取得最小值.

3． 在曲线y=x3上取一点P , 过P 的切线与该曲线交于Q , 证明:曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

【答案】设曲线切线方程为交点为

因此,

, 则有

, 使其包含等式F’（x ）=f（x ）不成立的有限

上对F （x ）使用拉格朗日中值定理, 则分别存

在

,

有

. 证明f 在（a , b）内能取到最小值.

. 因为, 取, 则存在,

上连续,

上有最小值点, 即存在

,

上点P 坐标为

,

即. 曲线

由由方程组

得该曲线过点P 的切线斜率

,

,

解出切线与曲线的

在Q 点的切线斜率

, 即曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

二、解答题

4． 将

【答案】令

按

的幂展开成幂级数. , 则

因此

因为当-1

即得

, 亦即x>0.

5． 求下列各函数的定义域, 画出定义域的图形, 并说明这是何种点集:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

【答案】（1）函数的定义域为

是无界开点集, 如图

1.

图

1

图2

（2）函数定义域为（3）函数的定义域为

是无界开点集, 如图2.

是无界闭集, 如图

3.

图

3

图4

（4

）函数的定义域为

如图4.

（5）由对数定义和函数的定义域为

是无界开点集, 如图

5.

且

是无界闭集,

图

5

图6

（6）由开方和三角函数的定义知函数的定义域为

是无界闭集, 如图6.

（7）由对数的定义知函数的定义域为

是无界开集, 如图

7.