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一、证明题

1． 用

方法证明:

【答案】令

∴

取

则当

时, 有

即

2． 证明:若函数u=f（x , y ）满足拉普拉斯方程:

则函数也满足此方程.

【答案】令

则有

①

同理

由于

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②

故有

同理

将①和②两式相加, 并把上述结果代入整理后得

3． 设f （x ）在

（1）（2）设

上连续, 满足. 则有, f （t ） =t;

, 则t=0.

知, 数列

为收敛数列.

上连续, 对

两边取极限, 得

因此f （t ） =t.

（3）此时（1）, （2）的结论仍成立. 因为当推出t=0.

时,

所以由f （t ） =t可

为递减数列. 由

知, 数列

有

. 设

证明:

为收敛数列；

（3）若条件改为【答案】（1）由界.

根据单调有界定理, （2）设

, 由于f 在

二、解答题

4． 求下列不定积分:

（1）（3）

【答案】（1）令

（2

）

（4

）

,

则

（2）令于是

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,

则, 取,

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（

3）令令

,

则

，则

,

所以原式

所以

原式

（4）

5． 设函数

【答案】

求:

第

4

页，共 31

页