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一、证明题

1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续:

（1）（2）【答案】（1）设

-的定义域是

对于任给的

, 限制

得

在其定义域内连续.

（2）f （x ）的定义域是R , 任取由

.

, 取

, 则当

时,

, 于

知, 对于任给的. 取

, 则当

时,

于是, f （x ）

, 因为f （x ）的图像关于原点对称,

, 由

所以只需对x>0的情形进行证明.

是, 在其定义域内连续.

2． 证明:若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, g （x , y ）在D 上可积且不变号, 则存在一点

使 得

【答案】不妨设

. 令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值, 从而

若若

, 则由上式, 则必大于0, 于是

由介值性定理, 存在

, 使得

即

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.

. 于是任取即可.

3． 设函数等式:

【答案】设

在区间上严格递增且连续

,

则

注意到

故

为的反函数, 试证成立

4． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使

[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数

使得

为n 个正数. 证明在区间[0, 1]

.. ,

【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为

9

=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设

, 则有

由拉格朗日中值定理,

时, 有

, 使

[2]用上例的思路来证明之. 令

以及

显然可以求得一点

使

. 取.

再在

在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理,

上对f （x ）应用介值定理,

和

, 使

当

于是, 总存在

, 取,

取

; .

, 使

.

当f （a ）>f（b ）时, 有

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又可求得一点

使得

在每一个小区间即

使. 如此下去, 可以求出. 总之, 我们有

.

, 使得

上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在

亦即

将上式对i 从1到n 求和, 可得

二、解答题

5． 求

【答案】由

在又由积分

由可微性定理, 有

即

解此常微分方程可得

6． 计算广义三重积分

其中D 为【答案】作变换:

.

, 则

I

在

上收敛.

及

的收敛性知, 上一致收敛.

（已知

,

）.

及

的收敛性知,

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