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一、证明题

1． 设

, 证明

令于是

2． 证明:若级数

与

, 则

, 从而原不等式成立. 收敛, 则级数

和

也收敛, 且

【答案】因为

又所以

及

均收敛, 所以

收敛, 故

收敛. 又因为

及闵可夫斯基不等式

对

3． 证明级数

【答案】因为对角线相乘可得

所以两级数的乘积为

与

绝对收敛, 且它们的乘积等于

故级数

绝对收敛, 同理

也绝对收敛, 按

取极限, 进而可得所证明的不等式.

, 故f （x ）在（0, 1）上单调递减.

【答案】原不等式

收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式

4． 证明下列结论:

（1）若f （x , y）在某域G 上对x 连续, 关于x 对y —致连续, 则f （x , y ）在G 上连续; （2）若f （x , y）在某域G 上对x 连续, 对y 满足利普希茨条件, 即

, 其中y ）在G 上连续.

【答案】（1

）任取

, 当所以取有

,

因此f （x , y ）在点（2）任取当得

.

取

, 则当

连续. 由. , 当

时有

所以f （x , y ）在点

在点y 0连续, 于是

x 连续, 所以

取但是

所以f （x , y ）在点

5． 按

（1）（2）

（3）

, 使得有

, L 为常数, 则f （x , y ）在G 上连续;

（3）若f （x , y ）在某域G 上分别对每一变量x 和y 连续, 并且对其中一个变量单调, 则f （x ,

, 由于f （x , y ）关于x 对变量y —致连续,

所以时有,

, 当

时有

,

的邻域全部含在G 内, 则当

’.又f （x , y ）关于x 连续,

. 时,

, 且

在点x 0连续,

从而对上述

, 并使点

连续. 由的任意性知f （x , y）在G 上连续.

,

时, 由利普希茨条件

. 取

,, 则当

, 由f （x , y 0）在点x 0. 连续, 所以

时有

的任意性知f （x , y ）在G 上连续.

, 由f （x , y ）对y 连续,

从而

时有

, 当

时有

. 又由f （x , y ）对时有

（3）不妨设f （x , y ）关于y 单调. 任取

在点x 0连续, 故对上述的, 则当

,

连续. 由的任意性知f （x , y ）在G 上连续.

定义证明:

（4）（5）

【答案】（1）由于

故对任意的（2）不妨设

只要取. 则

对任意的

只要取

则当

时, 有

（3）

由于

对任意的（4）由于

只要取

则当

对于任意的

时, 有只要取

, 故则当

（5）因为

令

由

得

对于任给

取

则当

故

, 使

【答案】记

, 则过三点

的抛物线为

令而

, 则当时, 这就证明了:

. 时

时, 有

6． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内二阶可导, 证明:

, 则F （a ）=F（c ）=f（6）=0, 故存在使