2018年南京师范大学教师教育学院869数学学科基础[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设函数（f x ）
在
只要对固定的故对上述则当nN 时, 有
, 记n=[x]2N, 因为
即
由式（1）, 有
,
故
, 使得
. 再由式（2）, 有
艮P
本题亦可用反证法予以答: 若结论不对, 则存在记
由f （x ）在只要
就有, 则
, 对.
由
, 相应地存在或
上一致连续可知, 对上述
, 使得
的有界性知, 它存在一个收敛子列, 不妨设为它本身, 满足
,
上一致连续, 且就有
,
取
且为正整数, 将[0, 1]区间k 等分. 记分点
由已知条件, 对每个
, 当nN 时, 有
. 令
有
,
,
, 有
. 试证:（n 为正整数）
,
,
【答案】因为f （x ）在
上一致连续,
所以
则每个小区间的长度
于是, 当n 充分大时, 有
9
从而有
由此可得
这与
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的假设矛盾.
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2． 求极限
【答案】记
.
则
即
而
,
故
.
3． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点, 使
（1
）
【答案】（1） f （x ）在
（2）上连续, 又因为
所以f （x ）在
x=0右连续. 故f （
x
）在
内连续.
故f
（x
）在
（2）所以
时,
在x=0不可导. 则
所以
; 当
在
时,
内可导,
且
, 根据罗尔中值定理
, 存在一点
上不满足罗尔中值定理的条件. 当
,
所以
故
, 使
函数f （x
）在区间[―1, 1]内不存在, 使
4． 设y=f（x ）为[a, b]上严格增的连续曲线（图）. 试证存在等.
, 使图中两阴影部分面积相
图
【答案】作辅助函数
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则F （t ）在[a, b]上连续可导. 由f （x ）为严格增函数可得
由根的存存定理. 存（a , b ）内存在一点,
使得上式两端恰为两部分面积, 故证得结论.
5． 试确定函数项级数
【答案】由于
所以当
时级数绝对收敛, 当
时级数发散, 当
时, 因为
因而级数发散, 于是级数的收敛域为（-1, 1）. 设
, 当
, 求证f （x ）在（-1, 1）内连续
. 时有
由根式判别法知
收敛, 所以
在
f x ）上一致收敛, 从而（在[-S, S]
内非一致收敛.
, 则
即
在（-1, 1）内不一致收敛于0, 所以函数项级数
问此函数在
在（-1, 1）内非一致收敛. 上的傅里叶级数具有什么特
的收敛域, 并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.
. 即
上连续, 由的任意性知f （x ）在（-1, 1）内连续.
事实上, 设
, 取
6． 设函数f （x ）满足条件:性.
【答案】因为n=0, 1, 2, …时,
其中所以
从而
同理可求
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