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一、证明题

1． 证明:若

为任何闭集, f :

且存在正实数

. , 因为f :

, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是

为, 的另外一个不动点, 则

即

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.

2． 设f （x ）在[a, b]上一阶可导, 在（a , b ）内二阶可导,

I

试证: （1）存在（2）存在

, 使使

. 满足

使得

I

故存在

使

.

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, 使得对任何

满足

则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

, 故由定理可知数列收敛,

设

（2）不动点

【答案】（1）依题意, 存在

（2）令

所以根据罗尔定理, 存在再令使得

3． 设f （X ）在

, 注意到

, 使得

. 因为

,

,

并改写即得

上n+1阶导数且. 由微分中值定理

, 则因为

y

及

求证:..

【答案】将f （a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开, 有

将上式代入式（1）可得

比较式（2）、式（3）, 且有

, 则

9

故

4． 设函数f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且满足

证明:至少存在一点【答案】令中值定

理知,

, 使得

因此, 由罗尔定理可知,

, 使得

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, 使.

, 则F （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导. 由题设, 利用积分

由于

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故有

5． 设

证明:【答案】因

即可. 设即所以故

6． 证明:

（1）若的；

（2）若

（1）【答案】不妨设时, 对一切的

均有

从而, 证明对所有的.

（2）因均有

故当n>N时, 对所有又对每个n

, 令界.

有

, 则对所有正整数N 及对一切

均有

, 即

在I 上一致有

在I 上有界, 特别地,

, 由柯西准则知,

对任意正数

存在

N , 当n>N时, 对所有

有

故

除前面N 项（有限项）外是一致有界

且对每个正整数n ,

在I 上有界, 则

由.

可得, 对于

在

I 上一致有界.

存在N , 当n>N

且f 在I 上有界,

则

至多除有限项外在I 上是一致有界

而

不可能在D 内部取得极值,

的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于故

在有界闭区域D

内有二阶连续的偏导数, 有

的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续,

故由连续函数的最值性知

在D 上一定可取得

处

在D

的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

最大值和最小值, 下证

二、解答题

7． 一物体在某介质中按

【答案】

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作直线运动, 介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x=0

移至x=a时克服介质阻力所作的功.