2017年宁波大学高等数学(含高等代数、解析几何、数学分析)(同等学力加试科目)之数学分析复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 设
为连续函数
为任意开集
为任意闭集，试问，
是否必为开集？
是否必为闭集？
【答案】不一定，反例： (1) 对于连续函数(2) 对于连续函数
2． 讨论级数
的敛散性.
为开集，
但
为开集，但
不是开集。
不是闭集.
【答案】用柯西收敛准则.
取
让自然数适当大，取
显
然
考
察
因此
这里用到了
3． 利用归结原则计算下列极限：
【答案】⑴令
则有
由归结原则，得
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注意到，
当时，
有
(当适当大时) . 由柯西收敛准则可知，原级数发散.
（2）令，则
由归结原则，得
4． 设
【答案】三方程分别对求偏导数，得
解之得
同理，三方程分别关于
求偏导数，则可解得
5． 求由下列方程所确定的隐函数的极值
.
【答案】⑴令
则有
将
代入原方程得.
故当(2)
设令舍去.
再以
故稳定点为
而
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解此方程得
于是该函数的稳定点为±1, 且
时有极小值时有极大值1. 则
解得
代入原方程解得
或
以再将
代入原方程，得
这时
解得
故
在稳定点
均有
及
的表达式中，得
可见
与异号. 故
所以在点
取极大值，
，
在点
取极小值
M ，沿椭
圆
6． 设有力
向
试求单位质量
移动一周(从z 轴正向看去为逆时针方向时) ，力F 所作的
功.
【答案】此即为求曲线积分
由Stokes 公式，
其中S 为C 围成的平面z=4上椭圆面，方向为上侧，由于
所以
令所以
则
且
¥面，故
二、证明题
7． 设即可.
事实上，由f
是
由
到
的映射知，
对每一个
当
相应地存在
时
，
使得
记
相应地
显然它是有界闭集.
可知
，
是连续映射，若对
中的任何有界闭集并设
欲证，
均有界. 证明：
是闭集.
【答案】任取点列
是闭集，只需证明
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