2017年青海民族大学数学院数学(一级学科)复试之数学分析考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 确定常数
【答案】
于是
欲使
为三阶无穷小量，必须有
使当
时，
为x 的3阶无穷小.
解之得
2． 求f (x ) 使曲线积分
【答案】设
与路径无关，这里
即
不通过y 轴.
因为积分与路径无关，所以
于是得
3． 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：
⑴（3）【答案】（1）
是上确界. 显然有是集合S 的一个上界. 对任意的
则
即（2）
月
因此，
是S 的上确界.
的上、下确界分别为
第 2 页，共 29 页
（2）为
内的无理数 （4）
和
这里只证明
取
S 的上、下确界分别为不妨设
和1.1是S 的一个下界，并且
任何大于1的数都不是S 的下界，所以1是S 的最大下界，即1是S 的下确界. 对任意的M>0,
取
，则
（3）
设a 不妨设a>0.由无理数的稠密性可知， 存在无理数是S 的上确界. （4） 的上确界为1，下确界为因为S 中的最小元素为 所以是 存 于是 并且 因此，1 为 故S 无上界，即S 的上确界为 内的无理数）的上、下确界分别为1和0. 这里只证明1是S 的上确界. S 的最大下界，即是S 的下确界. 由于在 使得 于是取 所以1是S 的一个上界，对任意的 且满足不等式 . 因此，1是S 的上确界. 4． 求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量：(1) 半径为R 的圆关于其切线的转动惯量：(2) 边长为a 和b ， 且夹角为妒的平行四边形，关于底边b 的转动惯量. 【答案】(1) 如图1. 设切线为 从而 其密度为 对任一点 P 到 的距离为 图1 (2) 如图2, 设密度为 于是 图 2 5． 设 是有界闭集 ，是D 上的连续函数. 证明：在D 上有界，且一定取到最 大值和最小值. 【答案】①若f 无界， 则 第 3 页，共 29 页 在D 上有界，用反证法来证明： 所以由连续性， 这与已知条件矛盾，所以 ② 由确界原理，知 存在，即 在D 上有界. 在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明. 再由连续性和有界性得，同理可 6． 计算线积分 【答案】如图所示 所以 其中ABC 为三点 连成的折线. 在D 上有最小值. 图 二、证明题 7． 证明： (1 ) (2 ) 【答案】(1) 界，设界为M. 若记 则 注意到 收敛，利用优级数判别法可知， 在[0, 1]上一致收敛. 因为 所以xlnx 在[0, 1]上连续并且有 由逐项积分定理，有 第 4 页，共 29 页
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