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一、解答题

1． 设函数f 在

处连续，

且

证明：【答案】先证

. 由已知条件

，

或

由式（1）可得

将上述不等式相加，可得

令即

这表明同理可证.

由于f 在

处连续，所以有

有

2． 应用分部积分法求下列不定积分：

【答案】

因此

（10）

因此

3． 设

计算下列积分：

【答案】(1) 应用广义球坐标变换

(2) 应用广义球坐标变换

4． 对下列命题，若认为是正确的，请给予证明；若认为是错误的. 请举一反例予以否定：

（1）设（2）设（3）设（4）设可导.

而

题设矛盾.

（3）命题错误.

如取但导，

而

处处不可导. （4）命题错误.

如取

在

可导.

（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）.

则

在

可导

在

不可

（狄利克雷函数），则

处处可导.

若f 在点可导，则若在点可导若在点可导在

若f 在点可导，则

在点

可导；

一定不可导；

在点不可导，则f 在点

在点可导；

则也可导，则

在

处

在点不可导，则f 在点一定不可导.

【答案】（1）命题错误.

如取

处都不可导.

（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点可导，又因在点

在也可导. 这与

5． 用抛物线法近似计算

【答案】当

时，

当

时，

当

时，

6． 设

【答案】

其中，为可微函数，求