2017年宁波大学高等数学(侧理)(同等学力加试科目)之数学分析考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间
.
【答案】(1) 由(2)
由
可知
(3) 由
可得当
时，
(4
)
可得
(5) 因为
所以
时，
(6
)
因为
所以
时
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可知
(7) 因为所以
(8)
由
得
(9
) 而
所以
时，由莱布尼茨判别法可得级数收敛) .
2． 设
在
【答案】
由
有
因
正整数时有
当n 为负整数时有
由
知
代入上式得
记
3． 设函数
【答案】若
，则在区间
使得
上二次可微，且有界. 证明：
. 使得
则
必变号. 若不然，
不妨设
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上一致连续，则存在非负实数a 与b ，使得对一切
）在在
上一致连续，
所以对
对任意上有界，所以存在
使得
当
. 存在整数n ,
使得
均有且时
其中
因此，当n 为
使得
严格递增. 取
变号，由导数的介值性，
下证：在题目的条件下
，
使
若若这与对
则当则当
. 并令并令
咐，有
时，有
有界性假设相矛盾.
可类似地证明.
4． 求下列极限：
【答案】
（6）令
（7）令（8）
则当
则
时，
相当于于是
于是
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